05481 - GEOMETRIA e ALGEBRA

MIS-Z, 2022/2023


Questa pagina è dedicata al corso di Geometria e Algebra (canale MIS-Z) dell'anno accademico 2022/2023 per i seguenti corsi di laurea dell'Università degli Studi di Napoli Federico II:

  • N46 - Ingegneria Informatica
  • N39 - Ingegneria dell'Automazione
  • P46 - Ingegneria Biomedica

ISCRIZIONI SEGREPASSGRUPPO MS TEAMSPRESENTAZIONE DEL CORSO - SLIDES


Orario delle lezioni:

Martedì: 8:30 – 10:30 in A3-T2 (San Giovanni)

Mercoledì: 12:30 – 14:30 in SG-I-1 (San Giovanni)


Ricevimento:

In presenza: Martedì, 13:30 - 15:30, Ufficio della sig.ra Margherita Arcidiaco (terzo piano, blcco C, San Giovanni)

Online: Venerdì 9-10 o su appuntamento (MS Teams)


Contenuti:

Il corso tratterà gli argomenti seguenti:
  • Spazi vettoriali su un campo $K$
  • Vettori numerici e matrici su un campo $K$
  • Sistemi di equazioni lineari
  • Applicazioni lineari
  • Diagonalizzazione di endomorfismi e matrici
  • Spazi vettoriali e affini euclidei
  • Elementi di Geometria Analitica


Informazioni per gli studenti
  • Per i documenti del corso di Geometria e Algebra 2021/2022 cliccare qui.
  • Il primo esonero si svolgerà martedì 2 maggio dalle 8:30 alle 10:30 in aula A3-T2 (San Giovanni).

Diario delle lezioni:

  • 07/03/23: Informazioni sul docente e sul corso. Richiami di logica e teoria degli insiemi. Proposizioni, connettivi logici, tavole di verità, quantificatori, proposizioni equivalenti. Esempi. Insiemi, rappresentazioni di un insieme, cardinalità, inclusione/uguaglianza di insiemi, operazioni tra insiemi (intersezione, unione, differenza, prodotto cartesiano). Esempi.
    PRESENTAZIONE DEL CORSOLezione 1Video - Lezione 1Appunti in aula - 1
  • 08/03/23: Definizione di funzione (dominio, codominio, immagine, controimmagine). Esempi. Definizione di funzione iniettiva, suriettiva, biettiva. Esempi. Concetto di struttura algebrica. Operazioni binarie su un insieme. $\mathbb R$ come esempio di campo. Definizione di campo. Esempi di campi ($\mathbb Q$, $\mathbb R$, $\mathbb C$, $\mathbb F_2$) e non campi ($\mathbb N$, $\mathbb Z$). Oggetti di studio dell'algebra lineare. Vettori fisici per grandezze vettoriali. Rappresentazione geometrica di un vettore. Definizione di segmento orientato nel piano. Richiami sulle relazioni di equivalenza. Esempio.
    Esercizi: Svolgere gli esercizi 1, 2 e 3 del Foglio 1.
    Lezione 2Appunti in aula - 2Esercizi 1 - Campi e Spazi Vettoriali
  • 14/03/23: Relazione di equipollenza sui segmenti orientati del piano. Definizione di vettore geometrico come classe di equipollenza. Biezione dell'insieme dei vettori geometrici con l'insieme dei segmenti orientati applicati in uno stesso punto. Operazioni di somma e moltiplicazione per scalari sull'insieme $V$ dei vettori del piano. Richiami sul piano cartesiano. Biezione tra $V$ e $\mathbb R^2$. Traduzione delle operazioni su $V$ in operazioni "compatibili" su $\mathbb R^2$ e corrispondenti proprietà. $\mathbb R^2$ come primo esempio di spazio vettoriale. Definizione di spazio vettoriale e osservazioni (il vettore nullo è unico, l'opposto di un vettore è unico, $0\cdot v=\underline{0}$, $\lambda \cdot \underline{0}=\underline{0}$).
    Lezione 3Video - Lezione 3Appunti in aula - 3
  • 15/03/23: Esempi di spazi vettoriali: Vettori geometrici del piano e dello spazio, $K^n$: l'$n$-spazio vettoriale numerico su un campo $K$, lo spazio delle funzioni da un insieme $X$ a un campo $K$, $K[x]$: lo spazio dei polinomi nell'indeterminata $x$ a coefficienti in un campo $K$. Esempi di problemi il cui insieme delle soluzioni ha una struttura di spazio vettoriale (caso di un sistema lineare omogeneo).
    Esercizi: Svolgere gli esercizi 4, 5 e 6 del Foglio 1.
    Lezione 4Video - Lezione 4Appunti in aula - 4Quiz Kahoot 1
  • 21/03/23: Accenni sui sistemi lineari. Definizione di matrice $m\times n$. Un po' di notazione e terminologia matriciale: entrata di una matrice, matrice quadrata di ordine $n$, diagonale principale di una matrice quadrata, vettore riga, vettore colonna, notazione $\mathcal M_{m,n}(K)$ e $\mathcal M_{n}(K)$. Operazioni su $\mathcal M_{m,n}(K)$: somma di matrici e moltiplicazione per uno scalare, corrispondenti proprietà. $\mathcal M_{n}(K)$ come spazio vettoriale su $K$. Prodotto di un vettore riga per un vettore colonna e prodotto di matrici. Il prodotto di due matrici non è sempre definito e non è commutativo. Matrici che commutano. Proprietà del prodotto di matrici (associatività, distributività rispetto alla somma, elemento neutro a destra e a sinistra).
    Lezione 5Video - Lezione 5Appunti in aula - 5
  • 22/03/23: Matrice identità. Prodotto di matrici in $\mathcal M_{n}(K)$. Definizione di matrice invertibile. L'inversa di una matrice è unica (con dim.). Esempi. L'inversa del prodotto di due matrici invertibili (con dim.). Ulteriore terminologia: trasposta di una matrice, matrice simmetrica, antisimmetrica, ortogonale, triangolare inferiore, triangolare superiore, diagonale, scalare. Esempi.
    Esercizi: Foglio 2.
    Lezione 6Video - Lezione 6Appunti in aula - 6Esercizi 2 - Vettori numerici e MatriciQuiz Kahoot 2
  • 28/03/23: Definizione di equazione lineare in $n$ indeterminate. Definizione di sistema lineare di $m$ equazioni in $n$ indeterminate. Definizione di sistema omogeneo/non omogeneo, definizione di sistema compatibile/incompatibile, definizione di sistemi equivalenti. Esempi. Notazione matriciale di un sistema: matrice dei coefficienti, vettore delle indeterminate e dei termini noti, matrice orlata del sistema. Definizione di matrice a scalini e di sistema a scalini. Esempi. Pivots di una matrice a scalini e variabili libere di un sistema. Condizione necessaria e sufficiente per la compatibilità di un sistema a scalini (un sistema a scalini è compatibile se e solo se l'ultimo pivot non nullo della matrice orlata non appartiene all'ultima colonna). "Numero" di soluzioni di un sistema a scalini compatibile. Risoluzione di un sistema a scalini. Esempi.
    Esercizi: Svolgere l'esercizio 1 del Foglio 3.
    Lezione 7Video - Lezione 7Appunti in aula - 7Esercizi 3 - Sistemi lineari
  • 29/03/23: Operazioni elementari sulle equazioni di un sistema (sulle righe di una matrice). Algoritmo di Gauss-Jordan per ridurre una matrice in una matrice a scalini. Esempi. Risoluzione di un sistema lineare con il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan. Esempi. Sistemi lineari con parametro/i. Esempio.
    Esercizi: Svolgere gli esercizi 2, 3, 4 e 5 del Foglio 3.
    Lezione 8Video - Lezione 8Appunti in aula - 8
  • 04/04/23: Esempio di sistema lineare con parametro. Metodo dell'inversa per la risoluzione di sistemi lineare con matrice dei coefficienti invertibile. Algoritmo di Gauss–Jordan per il calcolo della matrice inversa. L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo come primo esempio di sottospazio vettoriale. Definizione di sottospazio vettoriale. Osservazioni: un sottospazio vettoriale contiene necessariamente il vettore nullo; uno sottospazio vettoriale è uno spazio vettoriale. Esempi di sottospazi vettoriali.
    Esercizi: Svolgere l'esercizio 6 del Foglio 3.
    Lezione 9Video - Lezione 9Appunti in aula - 9
  • 05/04/23: Ulteriori esempi di come dimostrare che un sottoinsieme di uno spazio vettoriale è o non è un sottospazio vettoriale. L'intersezione di due sottospazi è un sottospazio (con dim.). L'unione di due sottospazi non è necessariamente un sottospazio (esempio). Sottospazio somma. Esempio. Somma diretta di due sottospazi, sottospazi supplementari. Esempio.
    Esercizi: Svolgere gli esercizi del Foglio 4.
    Lezione 10Video - Lezione 10Appunti in aula - 10Esercizi 4 - Sottospazi vettorialiQuiz Kahoot 3
  • 14/04/23: Proposizione: Se $V=U\oplus V$ allora per ogni $v$ esiste un unico $(u,w)\in U\times W$ tale che $v=u+w$ (con dim.). Definizione di combinazione lineare (combinazione lineare banale, non banale). Esempi e osservazioni. Sottospazio generato da un insieme di vettori. Esempi e osservazioni. Definizione di sistema di generatori e di vettori linearmente indipendenti. Esempi.
    Esercizi: Svolgere gli esercizi 4,5,6,7 e 8 del Foglio 4.
    Lezione 11Video - Lezione 11Appunti in aula - 11
  • 18/04/23: Osservazioni sulla definizione di indipendenza lineare. Definizione di base di uno spazio vettoriale. Definizione di base finita di uno spazio vettoriale. Coordinate rispetto a una base. Esempi in $\mathbb R^2$. Definizione di vettori collineari in $\mathbb R^2$. Dimostrazione "geometrica" che ogni coppia di vettori non collineari di $\mathbb R^2$ è una base di $\mathbb R^2$. Lemma di Steinitz (senza dimostrazione).
    Lezione 12Video - Lezione 12Appunti in aula - 12
  • 19/04/22: Teorema di equipotenza delle basi (con dimostrazione basata sul Lemma di Steinitz). Definizione di dimensione di uno spazio vettoriale. Esempi: dimensione e base canonica di $K^n$ e $\mathcal M_{m,n}(K)$. L'isomorfismo coordinato rispetto a una base e sue proprietà (applicazione lineare biettiva). Teorema di esistenza di una base e corollari. Esempio di come costruire una base di $\mathbb R^3$ che contiene un insieme di vettori linearmente indipendenti. Dimensione di un sottospazio di uno spazio vettoriale. Formula di Grassmann (senza dimostrazione) (analogia con la formula di cardinalità dell'unione di due insiemi). Esempio d''utilizzo della formula di Grassmann.
    Esercizi: Svolgere gli esercizi 2,3,4 e 5 del Foglio 5.
    Lezione 13Video - Lezione 13Appunti in aula - 13Esercizi 5 - Basi e dimensione
  • 26/04/23: L'unione di due sistemi di generatori di due sottospazi è un sistema di generatori del sottospazio somma. Esempio su come determinare una base del sottospazio somma e intersezione. Una base della somma diretta di due sottospazi è data dall'unione delle basi dei due sottospazi. Definizione di rango di un insieme di vettori. Osservazioni e esempi. Rango per righe e rango per colonne di una matrice. Teorema: il rango per righe è uguale al rango per colonne (senza dimostrazione). Osservazioni ed esempi. Il rango di una matrice a scalini. Calcolare il rango di una matrice con l'algoritmo di Gauss–Jordan. Applicazioni: calcolo della dimensione e di una base di un sottospazio di $K^n$; stabilire se un insieme di $n$ vettori costituisce una base di $K^n$. Proposizione: una matrice quadrata è invertibile se e solo se ha rango massimo (con dimostrazione). Esempio. Esercitazione pre-esonero.
    Lezione 14Video - Lezione 14Appunti in aula - 14
  • 28/04/23: Teorema di Rouché–Capelli (con dimostrazione). Esempio. Caso dei sistemi lineari omogenei. Definizione assiomatica del determinante (comportamento rispetto all'algoritmo di Gauss—Jordan). Determinante di una matrice $1\times 1$ e $2\times 2$. Definizione di sottomatrice, definizione di cofattore rispetto a un elemento di una matrice, definizione della matrice cofattore. Teorema di Laplace per il calcolo del determinante (senza dimostrazione). Esempio: calcolo del determinante di una matrice $3\times 3$ e regola di Sarrus.
    Lezione 15Video - Lezione 15Appunti in aula - 15
  • 02/05/23: Primo Esonero.
    Primo EsoneroPrimo esonero - Correzione
  • 03/05/23: Determinante di una matrice con una riga o una colonna nulla, determinante di una matrice diagonale/triangolare inferiore/triangolare superiore. Calcolo del determinante con l'algoritmo di Gauss–Jordan. Proprietà del determinante. Teorema di Binet (senza dimostrazione) e determinante di una matrice invertibile (con dimostrazione). Proposizione: una matrice è invertibile se e solo se ha determinante non nullo (con dimostrazione). Regola di Cramer. Esempio. Sunto sui metodi per calcolare il determinante e il rango di una matrice e per risolvere un sistema lineare.
    Esercizi: Svolgere gli esercizi del Foglio 6.
    Lezione 16Video - Lezione 16Appunti in aula - 166 - Rango e determinante
  • 09/05/23: Definizione di applicazione lineare. Esempi e osservazioni. Definizione di endomorfismo, funzionale lineare, isomorfismo e automorfismo. L'applicazione lineare nulla, l'identità, l'isomorfismo coordinato, la proiezione. Proposizioni: le immagini di vettori linearmente dipendenti sono linearmente dipendenti; per definire un'applicazione lineare $f:V\rightarrow W$ basta definire le immagini degli elementi di una base di $V$; se $f:V\rightarrow W$ è lineare, allora l'immagine di un sottospazio di $V$ è un sottospazio di $W$ e la preimmagine di un sottospazio di $W$ è un sottospazio di $V$. Definizione di nucleo, di immagine e di rango di un'applicazione lineare. Esempio sul calcolo della dimensione e di una base del nucleo e dell'immagine di un'applicazione lineare. Enunciato del teorema del rango.
    Lezione 17Video - Lezione 17Appunti in aula - 17
  • 16/05/23: Teorema del rango (idea della dimostrazione). La composizione di applicazioni lineari è un'applicazione lineare. Esempio. Richiami: definizione di applicazione lineare iniettiva, suriettiva, biettiva. L'inversa di un isomorfismo è un isomorfismo. Esempio. Proposizione: un'applicazione lineare $f$ è iniettiva se e solo se $\ker{f}=\{0\}$ (con dimostrazione). Corollario: un'applicazione lineare tra due spazi vettoriali di uguale dimensione è iniettiva se e solo se è suriettiva. Matrici associate alle applicazioni lineari e considerazioni sul rango. Esempio.
    Lezione 18Video - Lezione 18Appunti in aula - 187 - Applicazioni lineari
  • 17/05/23: Calcolo dell'immagine di un vettore a mezzo della matrice associata all'applicazione lineare. La matrice della composizione di due applicazioni lineari è uguale al prodotto delle matrici delle applicazioni lineari. La matrice del cambiamento di coordinate. Esempio. Formula del cambiamento di base per un endomorfismo. Il determinante di un endomorfismo. Interpretazione geometrica di una base diagonalizzante, di un autovettore e del corrispondente autovalore.
    Lezione 19Video - Lezione 19Appunti in aula - 19
  • 23/05/23: Definizione di operatore diagonalizzabile, di autovettore e di autovalore di un operatore. Esempi. Definizione di autospazio relativo a un autovalore. Proposizione: un insieme di autovettori relativi ad autovalori a due a due distinti sono linearmente indipendenti (con dimostrazione per un insieme di due vettori). Definizione di polinomio caratteristico di una matrice e di un operatore. Uno scalare è un autovalore per un operatore se e solo se è radice del corrispondente polinomio caratteristico. Osservazioni ed esempi.
    Video - Lezione 20Appunti in aula - 20
  • 24/05/23: La molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Teorema: un operatore $f:V\rightarrow W$ è diagonoalizzabile se e e solo se la somma delle moltiplicità geometriche degli autovalori è uguale alla dimensione di $V$ (senza dimostrazione). Corollario: se $f:V\rightarrow W$ possiede $n=\dim(V)$ autovalori distinti, allora $f$ è diagonalizzabile. Esempio. Definizione geometrica del prodotto scalare in $\mathbb R^2$ e applicazioni in fisica (lavoro di una forza). Definizione di prodotto scalare standard in $\mathbb R^n$ (dimostrazione che in $\mathbb R^2$ tale definizione coincide con la definizione geometrica). Definizione di prodotto scalare in uno spazio vettoriale reale (proprietà bilineare, simmetrico, definito positivo). La norma euclidea di un vettore e interpretazione geometrica. Definizione di vettore unitario o versore e di vettori ortogonali.
    Video - Lezione 21Appunti in aula - 21
  • 30/05/23 (4h): Teorema di Pitagora (con dimostrazione), disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (con dimostrazione), disuguaglianza triangolare (con dimostrazione). Angolo tra due vettori, proiezione ortogonale. Sottospazio ortogonale a un insieme di vettori e proprietà. Definizione di insieme ortogonale/ortonormale di vettori. Definizione di base ortogonale/ortonormale di uno spazio vettoriale. Definizione di piano e spazio euclidei. Definizione di riferimento cartesiano. Distranza tra due punti di uno spazio euclideo e proprietà. Definizione di sottospazi affini. I sottospazi affini del piano euclideo. Equazioni parametriche ed equazione cartesiana di una retta affine nel piano. Esempi. Posizioni reciproche di due rette nel piano (parallele e incidenti). Distanza di un punto da una retta (con dimostrazione). Distanza tra due rette parallele.
    Video - Lezioni 22 e 23Appunti in aula - 22 e 23 8 - Prodotto scalare
  • 31/05/23: Prodotto vettoriale di vettori di $\mathbb R^3$. Proprietà del prodotto vettoriale. Esempi. Geometria nello spazio euclideo $\mathbb E^3$: equazioni parametriche ed equazione cartesiana di un piano affine, posizioni reciproche di due piani nello spazio (paralleli o incidenti), equazioni parametriche e cartesiane di una retta nello spazio, posizioni reciproche di un piano e una retta nello spazio (paralleli o incidenti), posizioni reciproche di due rette nello spazio (complanari e sghembe). Distanza di un punto da un piano, distanza tra una retta e un piano paralleli, distanza tra due piani paralleli.
    Video - Lezione 24Appunti in aula - 249 - Geometria nel piano e nello spazio

Documenti del corso:


Vecchi Esami